Procedimento meio complicado esse... Segundo o site oficial você deve usar este script:
http://forum.opencart.com/viewtopic.php?f=2&t=50292. Ele inclui um arquivo leia-me (em inglês) detalhando o processo.
Para evitar problemas você deve instalar um servidor local como o XAMPP, baixar toda a sua loja e o banco de dados e colocar no servidor local para ensaiar o procedimento de atualização. Assim, se der mer... você não perde a sua loja

O script acima vai converter o banco de dados para a versão 1.5.1.2, e pelo que eu entendi depois dessa conversão do banco de dados você terá de instalar a versão 1.5.1.2 do Opencart por cima. Depois dessa atualização você poderá atualizar para as versões mais recentes do OC 1.5. As atualizações dentro da versão 1.5 já são mais fáceis e podem ser feitas diretamente usando o instalador da nova versão.
Existem algumas observações, segundo o criador desse script:
- O tema da loja não será mantido. Você pode tentar reinstalá-lo, mas provavelmente terá problemas de compatibilidade.
- Os widgets a princípio não aparecerão, precisarão ser adicionados manualmente
- Os módulos da loja antiga podem não ser compatíveis com a versão nova
Caso você não queira seguir por esse caminho, existe também a opção de recomeçar a loja reimportando produtos, pedidos e categorias. Neste caso você usaria um (ou mais) módulos de importação e exportação de dados.
Caso queira fazer a atualização mas não quer se arriscar, você poderá contatar alguém da comunidade ou fora daqui para realizar a atualização pra você.